Olá pessoal, tudo certo? Aqui quem fala é o Igor.
A nossa postagem de hoje será breve; lembraremos de algumas fórmulas e a aplicação delas na equação do segundo grau. É uma ótima maneira de retomar alguns conceitos e ainda sim saber o básico de cada fórmula. Vamos ao que interessa!
x
A nossa postagem de hoje será breve; lembraremos de algumas fórmulas e a aplicação delas na equação do segundo grau. É uma ótima maneira de retomar alguns conceitos e ainda sim saber o básico de cada fórmula. Vamos ao que interessa!
REPRESENTAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
ax² + bx + c = 0
Os coeficientes são a, b e c. Essas letras representam qualquer número. Por exemplo:
x² - 4x + 5 = 0
a = 1
b = -4
c = 5
A equação do segundo grau pode estar incompleta; vejamos os dois casos:
ax² + bx = 0
ax² + c = 0
Quando sua equação estiver faltando o c, usaremos o primeiro caso; quando estiver faltando o b, usaremos o segundo caso. As duas maneiras podem ser resolvidas por meio de fatoração.
x² + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x' = 0
x" = -4
x² - 4 = 0
(x + 4) (x - 4) = 0
x'= 4
x" = -4
FÓRMULA RESOLUTIVA
Após saber como consiste uma equação completa do 2º grau, é necessário também a aplicação da fórmula resolutiva. Essa fórmula nos dará as raízes que a equação possui.
Cada letra deve ser substituída pelo número correspondente a ela. Recomendo que, quando for substituir as letras pelos respectivos números, coloquem entre parênteses para não acontecer nada errado. Vamos resolver uma equação usando essa fórmula.
x² - 10x + 25 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-10)² - 4 (+1) (+25)
Δ = 100 - 100
Δ = 0
Se Δ = 0, teremos apenas UMA raiz real para essa equação. Nesse caso, resolveríamos desse modo:
x = -b / 2a
x = - (-10) / 2 . 1
x = 10 / 2
x = 5
Podemos concluir que S = {5}
Caso Δ < 0, já pode parar por aí, pois NÃO HÁ raízes reais para a equação.
Agora um exemplo caso Δ > 0.
x² + 3x - 4 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (+3)² - 4 (+1) (-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
x = -b 
Δ / 2a
Δ / 2a
x = - (+3) 25 / 2 . 1
25 / 2 . 1
x = -3 5 / 2
5 / 2
x' = - 3 + 5 / 2
x' = 2 / 2
x' = 1
x" = - 3 - 5 / 2
x" = -8 / 2
x" = -4
Podemos concluir que S = {-4, 1}. Encontramos DUAS raízes reais!
MONTANDO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Primeiramente vamos fazer a base para o nosso conhecimento. Como vimos na equação anterior, as raízes obtidas foram (+1) e (-4). Então podemos concluir o seguinte:
(+1) + (-4) = -3 (SOMA)
(+1) . (-4) = -4 ( PRODUTO)
Sabendo disso, basta aplicar numa fórmula para montar equações do segundo grau. A fórmula em questão é a seguinte:
x² - Sx + P = 0
Sabendo disso, vamos substituir as letras com os valores obtidos na SOMA e PRODUTO.
x² - (-3)x + (-4) = 0
x² + 3x - 4
Como podem perceber, meus amigos, voltamos para o início do problema!
DESCOBRINDO A SOMA E O PRODUTO
Dada a seguinte equação:
x² - 8x + 7 = 0
As fórmulas para descobrir a SOMA e o PRODUTO são:
-b / a (SOMA)
c / a (PRODUTO)
Sabendo disso, vamos descobrir a SOMA e o PRODUTO das raízes desta equação.
- (-8) / (+1)
8
(+7) / (+1)
7
CONCLUSÕES IMPORTANTES
Caso as raízes sejam opostas, quer dizer que:
x' + x" = 0
-b / a = 0
Caso as raízes sejam inversas, quer dizer que:
x' . x" = 1
c / a = 1
Podemos concluir que:
-b / a = x' + x"
c / a = x' . x"
Mas a conclusão principal é:
+4 -4 = 0
1/2 . 2/1 = 1
FÓRMULA LIMA
A soma do inverso das raízes é representado por:
1/x' + 1/x"
Para descobrirmos o valor da soma do inverso das raízes, o matemático Gustavo Lima, com seus conhecimentos avançados, propôs a seguinte fórmula:
-b / c
Vamos representar um exemplo real:
x² - x - 20 = 0
- (-1) / -20
1/ - 20
- 1/20
Se resolvêssemos a equação do segundo grau, teríamos S = {-4, 5}. Vamos provar se a fórmula está correta!
1/-4 + 1/5
-1/4 + 1/5
1/5 - 1/4
m.m.c. (5, 4) = 20
4/20 - 5/20
-1/20
Provamos a Fórmula Lima!
Então é isso, pessoal. Espero muito que vocês tenham gostado dessa publicação. Próximo sábado temos mais coisas por vir, por isso não se esqueçam de passar no blogue no dia 18 de abril para mais novidades no Prático & Básico!
Vejo vocês em breve.
