Análise dimensional I - Grandezas, equações dimensionais e sistema MLT

A análise dimensional pode ser usada na previsão de fórmulas físicas.

Análise dimensional:

• I - Grandezas, equações dimensionais e sistema MLT
• II - Teorema de Bridgman

   Define-se grandeza dimensional como sendo qualquer valor numérico que necessite de ao menos uma unidade.

Grandezas fundamentais e derivadas

   Grandezas fundamentais são aquelas que servem de base para outras grandezas. Exemplos: comprimento, tempo, massa, corrente elétrica, temperatura...

    Grandezas derivadas são aquelas que estão em função de grandezas fundamentais. Exemplos: área,  pressão, força, velocidade...

Veja uma tabela com as sete grandezas fundamentais e algumas grandezas derivadas: (todas no sistema internacional de unidades, SI)

Grandezas escalares e vetoriais

   Grandezas escalares são aquelas que só necessitam de módulo. Exemplos: temperatura, tempo.

  Grandezas vetoriais são aquelas que necessitam de um módulo, sentido e direção. Exemplos: velocidade, aceleração, força.

Comparação entre uma grandeza escalar e vetorial.

Sistema MLT

   Chama-se equação dimensional aquela em que só são representadas as unidades ou dimensões, e não os valores numéricos. Sendo A uma variável qualquer, diz-se que [A] é a dimensional de A. 

   De acordo com o sistema MLT: 

• Representa-se qualquer unidade de massa (kg, mg...) com a letra M (mass, em inglês)
• Representa-se qualquer unidade de comprimento (m, cm...) com a letra L (length, em inglês)
• Representa-se qualquer unidade de tempo (h, s) com a letra T (time, em inglês).

   Veja algumas unidades convencionais em suas fórmulas dimensionais:

Perceba que, para qualquer unidade convencional adotada, as unidades no sistema MLT serão as mesmas.

Outras fórmulas dimensionais:

Teremos uma grandeza adimensional, em que sua dimensional é igual a 1, para os seguintes casos:

• Números;
• Constantes adimensionais, como por exemplo razões entre dimensões iguais, como o coeficiente de atrito, em que se cancelam duas forças;
• Logaritmos;
• Arcos;
• Razões trigonométricas: seno, cosseno, tangente, secante... (se cancela comprimento com comprimento)

Princípio da homogeneidade dimensional

   Você já deve ter ouvido uma velha regra da sua professora de matemática: não se soma banana com abacaxi.

   Isso também se aplica às grandezas. É possível multiplicar e dividir grandezas para derivar outras grandezas, mas somar nem sempre é possível.

   O princípio da homogeneidade dimensional afirma que, para uma equação física ser verdadeira, todos as unidades envolvidas em sua equação dimensional devem ser iguais.

   Para melhor entendimento, vamos analisar a Equação de Torricelli:

   É por isso que a relação 10 kg = 15 m³/s é absurda, já que não se verifica o princípio da homogeneidade dimensional.