Números Complexos II - Propriedades e Operações Avançadas

Girolamo Cardano (1501 - 1576)

   Números Complexos

• I: Introdução, Definições e Operações Simples
• II: Propriedades e Operações Avançadas

   A seguir, mostramos algumas propriedades dos complexos.

Propriedades do conjugado

O conjugado do conjugado é o próprio complexo.

O conjugado do produto é o produto dos conjugados.

O conjugado do quociente é o quociente dos conjugados

O conjugado da soma é a soma dos conjugados.

Obs.: Note que essa propriedade foi usada na divisão dos complexos no módulo I.

Propriedade do módulo

Obs.: As duas últimas propriedades são desigualdades triangulares.

Propriedade do cis

  cisα×cisβ=cis(α+β)

                                                    (cisα)n=cis(nα)

cisαcisβ=cis(α−β)

Potenciação de Complexos

   A potência de números complexos é chamada de 1ª Lei de Moivre: (usaremos a forma trigonométrica) 

z=|z|×cisθ

zn=|z|n×cis(nθ)

   Obs.: Perceba que, se o módulo de z for 1, cis θ pode ser razão de uma progressão geométrica.

Radiciação de complexos

      A radiciação de números complexos é a 2ª Lei de Moivre:

   Sendo k um inteiro.