Com força total, com garra... voltamos a aprender mais um pouco! Saudações, pupilos! Preparados?
E agora trazendo um conteúdo que requer muita atenção para não haver confusão: fatoração de polinômios. Estou a trazê-lo devido às dúvidas que nossos leitores apresentaram em relação a ele. Sem mais delongas.
Fatoração é descrever um número ou polinômio em um produto de números primos...
O modo básico da decomposição de fatores com o número 1024. (Observação: negrito é o número primo que está fatorando e [^10] significa: elevado a 10)
1024 -> 2 -> 512 -> 2 -> 256 -> 2 -> 128 -> 2 -> 64 -> 2 -> 32 -> 2 -> 16 -> 2 -> 8 -> 2 -> 4 -> 2 -> 2 -> 2 -> 1
R. 2^10.
Se fôssemos verificar se esse número é quadrado perfeito e qual seria a raiz quadrada dele, faríamos assim:
2² . 2² . 2² . 2² . 2² = 1024
Tiraríamos o quadrado que está elevado...
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
R. O número 1024 é um quadrado perfeito e sua raiz quadrada é 32.
ESSES SÃO APENAS ALGUNS CONCEITOS PARA INICIARMOS NOSSO CONTEÚDO!
FATORANDO PELO FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
Essa é a regra comum para fatorar polinômios. Fatoramos o polinômio e colocamos o fator comum de todos os termos para multiplicar com o que sobrou deles. Entenda melhor com um exemplo:
12x³ + 36x² - 48x
(Faça o MDC para facilitar sua vida: o máximo divisor comum dos números é 12 e o máximo divisor comum das variáveis é x, depois é só dividir os termos pelo fator comum)
12x ( x² + 3x - 4 )
O fator comum de todos os termos é o 12x.
FATORANDO POR AGRUPAMENTO
Essa é a regra para fatorar polinômios através de grupos. Fatoramos formando grupos, utilizando a regra do fator comum e evidência, só que em grupos.
ab + bc + ax + cx
b ( a + c ) x ( a + c)
(Usamos o fator comum em evidência em cada um dos grupos para multiplicar com o restante dos termos)
( x + b ) ( a + c )
FATORANDO PELA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Essa é a regra para fatorar binômios que apresentam a diferença entre dois quadrados perfeitos. Fatoramos, multiplicando a soma e a diferença ao mesmo tempo. Entenda melhor:
x² - 16
(Raiz quadrada de x² é x, raiz quadrada de 16 é 4)
( x + 4 ) ( x - 4 )
É como se fosse o contrário do produto da soma pela diferença (produtos notáveis).
FATORANDO UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Essa é a regra para fatorar trinômios. Mas não qualquer trinômio. Vejamos um exemplo.
x² - 10x + 25
O primeiro e o último termo devem possuir raiz quadrada, acompanhados do sinal ( + ) no polinômio. A multiplicação entre as raízes e 2 devem dar o mesmo resultado do termo que está no meio. O sinal que acompanha o termo do meio definirá o sinal usado para montarmos a forma fatorada.
// x² = x // 25 = 5 // -> 2. 5 . x = 10x
Conferimos que este é um trinômio quadrado perfeito. O sinal que estava acompanhando o termo do meio do trinômio (10x) irá aparecer logo abaixo, na nossa resposta. Colocaremos o primeiro e o último termo já fatorado, elevado ao quadrado.
( x - 5 )²
É como se fosse o contrário do produto da soma de dois quadrados ou da diferença de dois quadrados (produtos notáveis).
FATORANDO A SOMA DE DOIS CUBOS
Essa é a regra para fatorar binômios que apresentam a soma de duas raízes cúbicas. Veja o exemplo.
x³ + y³
Fatoramos os termos e, em seguida, montamos a fórmula para fatorar a soma de dois cubos, utilizando os termos já fatorados.
No primeiro parêntese, colocaremos as raízes com o sinal utilizado no binômio (no caso, + ). No segundo parêntese, colocaremos a raiz do primeiro termo elevado ao quadrado (x²), as raízes dos dois termos se multiplicando (xy) e a raiz do segundo termo elevado ao quadrado (y²). Em relação aos sinais, do segundo parêntese, o sinal que está acompanhando o xy deve ser o oposto do sinal do binômio que está sendo fatorado ( - ).
( x + y ) ( x² - xy + y² )
FATORANDO A DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
Essa é a regra para fatorar binômios que apresentam a diferença de duas raízes cúbicas. Veja o exemplo.
x³ - y³
Fatoramos os termos e, em seguida, montamos a fórmula para fatorar a diferença de dois cubos, utilizando os termos já fatorados.
O que irá mudar em relação a soma de dois cubos são os sinais. O sinal do primeiro parêntese deverá ser o ( - ) e o sinal que acompanha o xy será o oposto, ou seja, o ( + ).
( x - y ) ( x² + xy + y² )
CASO TENHA ALGUMA DÚVIDA, POSTE-A NOS COMENTÁRIOS.
Agora vamos indo, espero que tenham entendido. Fiquem na paz de Deus e até a próxima!
QUARTA-FEIRA, 8 DE OUTUBRO DE 2014.
~por Igor Maciel Silva.
b ( a + c ) x ( a + c)
(Usamos o fator comum em evidência em cada um dos grupos para multiplicar com o restante dos termos)
( x + b ) ( a + c )
FATORANDO PELA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Essa é a regra para fatorar binômios que apresentam a diferença entre dois quadrados perfeitos. Fatoramos, multiplicando a soma e a diferença ao mesmo tempo. Entenda melhor:
x² - 16
(Raiz quadrada de x² é x, raiz quadrada de 16 é 4)
( x + 4 ) ( x - 4 )
É como se fosse o contrário do produto da soma pela diferença (produtos notáveis).
FATORANDO UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Essa é a regra para fatorar trinômios. Mas não qualquer trinômio. Vejamos um exemplo.
x² - 10x + 25
O primeiro e o último termo devem possuir raiz quadrada, acompanhados do sinal ( + ) no polinômio. A multiplicação entre as raízes e 2 devem dar o mesmo resultado do termo que está no meio. O sinal que acompanha o termo do meio definirá o sinal usado para montarmos a forma fatorada.
// x² = x // 25 = 5 // -> 2. 5 . x = 10x
Conferimos que este é um trinômio quadrado perfeito. O sinal que estava acompanhando o termo do meio do trinômio (10x) irá aparecer logo abaixo, na nossa resposta. Colocaremos o primeiro e o último termo já fatorado, elevado ao quadrado.
( x - 5 )²
É como se fosse o contrário do produto da soma de dois quadrados ou da diferença de dois quadrados (produtos notáveis).
FATORANDO A SOMA DE DOIS CUBOS
Essa é a regra para fatorar binômios que apresentam a soma de duas raízes cúbicas. Veja o exemplo.
x³ + y³
Fatoramos os termos e, em seguida, montamos a fórmula para fatorar a soma de dois cubos, utilizando os termos já fatorados.
No primeiro parêntese, colocaremos as raízes com o sinal utilizado no binômio (no caso, + ). No segundo parêntese, colocaremos a raiz do primeiro termo elevado ao quadrado (x²), as raízes dos dois termos se multiplicando (xy) e a raiz do segundo termo elevado ao quadrado (y²). Em relação aos sinais, do segundo parêntese, o sinal que está acompanhando o xy deve ser o oposto do sinal do binômio que está sendo fatorado ( - ).
( x + y ) ( x² - xy + y² )
FATORANDO A DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
Essa é a regra para fatorar binômios que apresentam a diferença de duas raízes cúbicas. Veja o exemplo.
x³ - y³
Fatoramos os termos e, em seguida, montamos a fórmula para fatorar a diferença de dois cubos, utilizando os termos já fatorados.
O que irá mudar em relação a soma de dois cubos são os sinais. O sinal do primeiro parêntese deverá ser o ( - ) e o sinal que acompanha o xy será o oposto, ou seja, o ( + ).
( x - y ) ( x² + xy + y² )
CASO TENHA ALGUMA DÚVIDA, POSTE-A NOS COMENTÁRIOS.
Agora vamos indo, espero que tenham entendido. Fiquem na paz de Deus e até a próxima!
QUARTA-FEIRA, 8 DE OUTUBRO DE 2014.
~por Igor Maciel Silva.
Show muito bom vlw pelo post esclareceu minhas duvidas
ResponderExcluirComo pode fatorar x5+ 32( x elevado a quinta mais trinta e dois)?
ResponderExcluirComo pode fatorar x5+ 32( x elevado a quinta mais trinta e dois)?
ResponderExcluirVejamos o exemplo da postagem x³ - y³: nós tiramos os expoentes no primeiro termo, sendo ele ( x - y ), certo?
ResponderExcluirO seu caso é x^5 + 32. Fatorando o 32, temos x^5 + 2^5.
Tirando os expoentes, o primeiro termo será, então, ( x + 2 ). Já que é de 5º grau, vamos fazer o primeiro termo decrescente de expoente e o segundo termo, crescente de expoente, a partir do expoente 4 (pois x^5 + 32 é de 5º grau). Já que o sinal de x+2 é +, terá uma troca de sinais no próximo polimônio (+, -, +, -...)
x^4 - x^3 . 2 + x^2 . 2^2 - x . 2^3 + 2^4
x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16
Esse é o segundo termo, então temos que:
(x + 2) (x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16)
Espero ter ajudado. Aqui vai uma foto da minha resolução: http://i.imgur.com/sVEMUEQ.png